题目内容
【题目】设,函数
.
(Ⅰ)若,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)若无零点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若有两个相异零点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)首先求得函数的导数,然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在
处的切线方程是
;
(Ⅱ)结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是
;
(Ⅲ)由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.
试题解析:
(Ⅰ)函数的定义域为,
当时,
,则切线方程为
,即
.
(Ⅱ)①若时,则
是区间
上的增函数,
∵,
∴,函数
在区间
有唯一零点;
②若有唯一零点
;
③若,令
,得
,
在区间上,
,函数
是增函数;
在区间上,
,函数
是减函数;
故在区间上,
的最大值为
,
由于无零点,须使
,解得
,
故所求实数的取值范围是
.
(Ⅲ)设的两个相异零点为
,设
,
∵,∴
,
∴,
∵,要证
,只需证
,
只需,等价于
,
设上式转化为
),
设,
∴在
上单调递增,
∴,∴
,
∴.

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