Question

5．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F为A₁C₁上的动点，且EF=$\frac{1}{2}$，则下列结论中错误的是（　　）

• A． BD⊥CE
• B． △CEF的面积为定值
• C． 四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而变化
• D． 直线BE与CF为异面直线

Answer 1

分析 在A中，由已知能推导出BD⊥平面A₁C₁C，从而BD⊥CE；在B中，EF=$\frac{1}{2}$，点C到EF的距离CC₁=1，从而△CEF的面积为定值；在C中，四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而保持不变；在D中，直线BE与CF既不平行，也不相交．

解答 解：在A中：∵棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，
∴BD⊥A₁C₁，且BD⊥CC₁，又A₁C₁∩CC₁=C₁，∴BD⊥平面A₁C₁C，
∴BD⊥CE，故A正确；
在B中：∵△CEF中，EF=$\frac{1}{2}$，点C到EF的距离CC₁=1，
∴△CEF的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$，为定值，故B正确；
在C中：∵△CEF的面积为定值$\frac{1}{4}$，点B到平面CEF的距离即为点B到平面A₁CC₁的距离，
∴四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而保持不变，故C错误；
在D中：直线BE与CF既不平行，也不相交，故直线BE与CF为异面直线，故D正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．