Question

15．如图，圆O的半径为2，等腰△ABC的底边的两端点B，C在圆O上，AB与圆O交于点D，AD=2，圆O的切线DE交AC于E点．
（I）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）若∠A=30°，求BD的长．

Answer 1

分析 （I）设AC交圆O于点F，则∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，证明四边形ADOF是菱形，OD∥AC，即可证明DE⊥AC；
（Ⅱ）作OG⊥BD于点G，则G是BD的中点，DG=ODcos30°，即可求BD的长．

解答 （I）证明：设AC交圆O于点F，则∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，
∵∠B=∠C，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AD=AF=2，
∵OD=OF=2，
∴四边形ADOF是菱形，
∴OD∥AC，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；
（Ⅱ）作OG⊥BD于点G，则G是BD的中点，
∵OD∥AC，
∴∠BDO=∠A=30°，
∴DG=ODcos30°=$\sqrt{3}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的切线，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．