椭圆C:$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F1.F2.有下列研究问题及结论:①曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1 {\;}}$与椭圆C的焦点相同,②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点.顶点是椭圆C的焦点.则其标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$,③若点P为椭圆上一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F₁，F₂，有下列研究问题及结论：
①曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1_{\;}}（k＜9）$与椭圆C的焦点相同；
②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点，顶点是椭圆C的焦点，则其标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$；
③若点P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，则$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=8．
④过椭圆C的右焦点F₂且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点．若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则k=$\frac{5}{6}$．
则以上研究结论正确的序号是①②③．

分析椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），长轴端点：（±5，0），短轴端点：（0，±3）．
①由$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，可得此椭圆与椭圆C的焦点相同，即可判断出正误；
②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点，顶点是椭圆C的焦点，即可得出其标准方程，即可判断出正误；
③由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，设PO的延长线与椭圆相交于点Q，则四边形PF₁QF₂是矩形，因此$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=|F₁F₂|=8，即可判断出正误．
④设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程：my=x-4，与椭圆方程联立化为（9m²+25）y²+72my-81=0，利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，-y₁=3y₂，化简解出m，即可得出k．

解答解：椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），长轴端点：（±5，0），短轴端点：（0，±3）．
①曲线$\frac{x^2}{25-k}+\frac{y^2}{9-k}={1_{\;}}（k＜9）$，由$\sqrt{25-k-（9-k）}$=4，可得此椭圆与椭圆C的焦点相同，正确；
②双曲线的焦点是椭圆C 的长轴的端点，顶点是椭圆C的焦点，则其标准方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，正确；
③若点P为椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，设PO的延长线与椭圆相交于点Q，则四边形PF₁QF₂是矩形，因此$|{\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}}|$=|F₁F₂|=8，正确．
④设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程：my=x-4，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-4}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，化为（9m²+25）y²+72my-81=0，∴y₁+y₂=-$\frac{72m}{9{m}^{2}+25}$，y₁y₂=$\frac{-81}{9{m}^{2}+25}$．（*）
∵$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，∴-y₁=3y₂，代入（*）可得：39m²=25，m＞0，解得m=$\frac{5}{\sqrt{39}}$，则k=$\frac{\sqrt{39}}{5}$．因此不正确．
则以上研究结论正确的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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7．设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，3]上的最大值．

4．若不等式x²+2（a-2）x+4＞0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（0，4）．

11．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的离心率为$\frac{m}{2}$，抛物线y²=mx的焦点为F，点p（2，y₀）（y₀＞0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为$\frac{5}{2}$．

1．下列大小关系正确的是（　　）

	A．	$log_4^{0.3}＜{0.4^3}＜{3^{0.4}}$		B．	${0.4^3}＜log_4^{0.3}＜{3^{0.4}}$
	C．	$log_4^{0.3}＜{3^{0.4}}＜{0.4^3}$		D．	${0.4^3}＜{3^{0.4}}＜log_4^{0.3}$

8．平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=（1，2），$\overrightarrow{BD}$=（-3，2），则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$=-2．

5．

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F为A₁C₁上的动点，且EF=$\frac{1}{2}$，则下列结论中错误的是（　　）

	A．	BD⊥CE
	B．	△CEF的面积为定值
	C．	四面体BCEF的体积随EF的位置的变化而变化
	D．	直线BE与CF为异面直线

6．将a=（$\frac{7}{6}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$，b=（$\frac{6}{5}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$，c=（$\frac{6}{7}$）^-${\;}^{\frac{1}{3}}$这三个数从小到大排列正确的是（　　）

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