Question

17．对于函数y=lg（kx²+kx+1），
（1）若其定义域为R，求实数k的取值范围；
（2）若其值域为R，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由定义域为R得kx²+kx+1＞0恒成立，然后根据k的取值讨论即可；
（2）由值域为R得（0，+∞）⊆{y|y=kx²+kx+1}，转化为二次函数问题解决．

解答 解：（1）∵y=lg（kx²+kx+1）定义域为R，
∴kx²+kx+1＞0恒成立．
令g（x）=kx²+kx+1，
①当k=0时，g（x）=1符合题意；
②当k＜0时，g（x）为开口向下的二次函数，显然不符合题意；
③当k＞0时，g（x）为开口向上的二次函数，g_min（x）=$\frac{4k-{k}^{2}}{4k}$=1-$\frac{k}{4}$，令1-$\frac{k}{4}$＞0得0＜k＜4．
综上所述：k的取值范围是[0，4）．
（2））设g（x）=kx²+kx+1值域为A．
∵y=lg（kx²+kx+1）值域为R，
∴（0，+∞）⊆A．
∴g（x）为开口向上的二次函数，且g_min（x）≤0，
∴△=k²-4k≥0，解得k≤0，或k≥4．
∴k的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的定义域，值域，二次不等式的解法和分类讨论思想，属于基础题．