Question

15．已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|2a＜x＜a²+1}．
（1）当a=2时，求A∪B；
（2）当a＞$\frac{1}{3}$时，若元素x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=2时，集合A、B为两确定的集合，利用集合运算求解；
（2）a＞$\frac{1}{3}$时，根据元素x∈A是x∈B的必要条件，说明B⊆A，确定端点的大小，结合数轴分析条件求解即可．

解答 解：（1）当a=2时，A=（2，7），B=（4，5），∴A∪B={a|2＜a＜7}；
（2）当a＞$\frac{1}{3}$时，3a+1＞2，∴A=（2，3a+1）
∵若元素x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，
∴a=1时，B=Φ，满足B⊆A；a≠1时，$\left\{\begin{array}{l}{2a≥2}\\{{a}^{2}+1≤3a+1}\end{array}\right.$，
∴1≤a≤3．

点评 本题借助充要条件等知识点考查集合运算，含有参数的数集进行交、并、补运算，要比较端点的大小．