Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见证明；(Ⅱ) （Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．

（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．

（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．

（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

因为底面，CD平面ABC，

所以．

又为等边三角形，为的中点，

所以．因为，

所以平面；

（Ⅱ）取中点，连结，则

因为，分别为， 的中点，

所以．

由（Ⅰ）知，，

如图建立空间直角坐标系．

由题意得，，， ,,,,，

，．

设平面 法向量，

则即

令，则，．即．

平面BAE法向量．

因为，，，

所以

由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为.

（Ⅲ）解：在线段上不存在点M，使平面．理由如下．

假设线段上存在点M，使平面．则

，使得．

因为，所以．

又，所以．

由（Ⅱ）可知，平面法向量，

平面，当且仅当，

即，使得．

所以 解得．

这与矛盾．

所以在线段上不存在点M，使平面．