题目内容
【题目】已知函数,.
(Ⅰ)设,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若曲线与在公共点处有相同的切线,求点的横坐标;
(Ⅲ)设,且曲线与总存在公切线,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)函数的单调增区间为,单调递减区间为;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)时,求函数的导函数,解不等式,得到函数的单调区间;
(Ⅱ)设公共点的坐标,可得,即,
分别求出过的两条切线方程,由题意可知,这两条切线重合,可得有且,即,把代入,得,设,求导,根据单调性可知:函数在上有唯一的零点,所以,即点的横坐标为;
(Ⅲ)分别求出两个曲线的切线方程,根据斜率相等和在纵轴的截距相等,得到方程组,通过消元法,得到一个方程,只要方程有正实数解即可,参变量分离,构造新函数,利用导数,求出新函数的最小值,最后求出的最小值.
(Ⅰ)时,,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以函数的单调增区间为,单调递减区间为;
(Ⅱ)设公共点为,,所以,即,
曲线在公共点处的切线的斜率为:,切线方程为:,
曲线在公共点处的切线的斜率为:,切线方程为:
,曲线与在公共点处有相同的切线,所以有且,即,把代入,得,设,,函数在上单调递增,而,所以函数在上有唯一的零点,所以,即点的横坐标为;
(Ⅲ)设曲线的切点为,,则切线的斜率为,所以曲线的切线方程为:,设曲线的切点为,,则曲线的切线的斜率为所以曲线的切线方程为;,
由题意可知:有正实数解,
由于,所以,所以,,设,,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,所以当时,函数有最小值,最小值为,要使方程有正实数解,只需,所以的最小值为.
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