Question

【题目】已知， ．

（1）求 的值；

（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）1，3，10；（2）=

【解析】试题分析：（1）代入，根据组合数依次求出 的值；（2）根据数值猜想=，利用倒序相加法可求出的表达式

试题解析：解：（1）由条件， ①，

在①中令，得．

在①中令，得，得．

在①中令，得，得．

（2）猜想=（或=）．

欲证猜想成立，只要证等式成立．

方法一：当时，等式显然成立，

当时，因为，

故．

故只需证明．

即证．

而，故即证 ②．

由等式可得，左边的系数为．

而右边 ，

所以的系数为．

由恒成立可得②成立.

综上， 成立.

方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为， ，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．

另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．

故，即②成立. 余下同方法一.

方法三：由二项式定理，得 ③．

两边求导，得 ④．

③×④，

得 ⑤．

左边的系数为．

右边的系数为

．

由⑤恒成立，可得．

故成立.