题目内容
13．已知a∈R，函数f（x）=$\sqrt{2x+4}$+3a和g（x）=$\sqrt{x+3}$+2a2的图象有交点，则a的取值范围是（ ）| A． | （-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞） | B． | （-$\frac{1}{2}$，0]∪[1，+∞） | C． | [$\frac{1}{2}$，+∞） | D． | （-∞，2] |
分析 由题意可得方程 $\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$=2a2-3a 有解，故 x≥-2．令y=$\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$，利用用导数求出y的最小值为-1，可得 2a2-3a≥-1，由此求得a的范围．
解答 解：由题意可得方程 $\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$=2a2-3a 有解，∴x≥-2．
令y=$\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$，则y′=$\frac{1}{\sqrt{2x+4}}$-$\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ 在（-2，+∞）上大于零，故函数y在[-2，+∞）上为增函数，
故当x=-2时，函数y取得最小值为-1，
∴2a2-3a≥-1，求得a≥1 或a≤$\frac{1}{2}$，
故选：A．
点评 本题主要考查函数的图象，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．
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阅读下面的两个程序：
5．函数y=4sinx，x∈[-π，π]的单调性是（ ）
| A． | 在[-π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 | |
| B． | 在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[-π，-$\frac{π}{2}$]和[$\frac{π}{2}$，π]上都是减函数 | |
| C． | 在[0，π]上是增函数，在[-π，0]上是减函数 | |
| D． | 在[$\frac{π}{2}$，π]和[-π，-$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是减函数 |