题目内容
2.(1)求和:Sn=$\sqrt{11-2}$+$\sqrt{1111-22}$+…+$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n个}-\underset{\underbrace{22…2}}{n个}}$;(2)求和:Sn=1-3+5-7+9-11+…+(-1)n-1(2n-1);
(3)求和:12+32+52+…+(2n+1)2.
分析 (1)通过变形、计算可知$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n个}-\underset{\underbrace{22…2}}{n个}}$=$\underset{\underbrace{33…3}}{n个}$,从而Sn=3n+30(n-1)+300(n-2)+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{(n-1)个0}$×1、10Sn=30n+300(n-1)+3000(n-2)+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{n个0}$×1,利用错位相减法计算即得结论;
(2)当n为奇数时Sn=1+$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{\frac{n-1}{2}个2}$、当n为偶数时Sn=(1-3)+(5-7)+…+[(-1)n-2(2n-3)+(-1)n-1(2n-1)],进而计算可得结论;
(3)通过计算出前几项的和,利用归纳法出求和公式.
解答 解:(1)∵$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n个}-\underset{\underbrace{22…2}}{n个}}$=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×1{0}^{n}+\underset{\underbrace{11…1}}{n个}-\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×2}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×1{0}^{n}-\underset{\underbrace{11…1}}{n个}}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×(1{0}^{n}-1)}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n个}×\underset{\underbrace{99…9}}{n个}}$
=$\underset{\underbrace{33…3}}{n个}$,
∴Sn=$\sqrt{11-2}$+$\sqrt{1111-22}$+…+$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n个}-\underset{\underbrace{22…2}}{n个}}$
=3+33+…+$\underset{\underbrace{33…3}}{n个}$
=3n+30(n-1)+300(n-2)+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{(n-1)个0}$×1,
∴10Sn=30n+300(n-1)+3000(n-2)+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{n个0}$×1,
错位相减得:9Sn=-3n+30+300+3000+…+$\underset{\underbrace{30…0}}{(n-1)个0}$+$\underset{\underbrace{30…0}}{n个0}$×1,
∴Sn=$\frac{1}{3}$[10+100+…+$\underset{\underbrace{10…0}}{n个0}$-n]
=$\frac{1}{3}$(10+102+103+…+10n-n)
=$\frac{1}{3}$×[$\frac{10×(1-1{0}^{n})}{1-10}$-n]
=$\frac{1}{3}$×($\frac{1{0}^{n+1}-10}{9}$-n);
(2)分n为奇数项、偶数两种情况讨论:
①当n为奇数时,Sn=1-3+5-7+9-11+…+(-1)n-1(2n-1)
=1+(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-2(2n-3)+(-1)n-1(2n-1)]
=1+$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{\frac{n-1}{2}个2}$
=1+$\frac{n-1}{2}$×2
=n;
②当n为偶数时,Sn=1-3+5-7+9-11+…+(-1)n-1(2n-1)
=(1-3)+(5-7)+…+[(-1)n-2(2n-3)+(-1)n-1(2n-1)]
=-2×$\frac{n}{2}$
=-n;
由①②可知Sn=$\left\{\begin{array}{l}{n,}&{n为奇数}\\{-n,}&{n为偶数}\end{array}\right.$;
(3)依题意,12+32=10=$\frac{1}{3}$•2•(4•22-1),
12+32+52=35=$\frac{1}{3}$•3•(4•32-1),
12+32+52+72=$\frac{1}{3}$•4•(4•42-1),
…
归纳:12+32+52+…+(2n+1)2=$\frac{1}{3}$•(n+1)•[4•(n+1)2-1].
点评 本题考查数列的求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | (-∞,$\frac{1}{2}$]∪[1,+∞) | B. | (-$\frac{1}{2}$,0]∪[1,+∞) | C. | [$\frac{1}{2}$,+∞) | D. | (-∞,2] |
A. | -4 | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | -2$\sqrt{3}$ | D. | 4 |
A. | $\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
A. | 垂直于同一平面的两平面平行 | |
B. | 垂直于同一直线的两平面平行 | |
C. | 与一直线成等角的两平面平行 | |
D. | 若一个直角在平面α上的射影仍是一个直角,则这个角所在的平面与平面α平行 |