Question

8．设函数f（x）=$\sqrt{（ax-5）（a-{x}^{2}）}$的定义域为A，集合B={x||x-a|＞2}，已知命题p：3∈A，命题q：10∈B，若p真且q假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 要使函数f（x）有意义，则（ax-5）（a-x²）≥0，即（ax-5）（x²-a）≤0，对a分类讨论：①当a=0时，②当a＜0时，③当a＞0时，不等式化为$（x-\frac{5}{a}）$$（x+\sqrt{a}）$$（x-\sqrt{a}）$≤0．当a≥$\root{3}{25}$时，当$0＜a＜\root{3}{25}$时．命题q：10∈B，∴￢q：10∉B．对于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．即可得出．

解答 解：要使函数f（x）有意义，则（ax-5）（a-x²）≥0，即（ax-5）（x²-a）≤0，
①当a=0时，化为5x²≥0，x∈R=A．对于B：|x|＞2，此时10∈B，舍去．
②当a＜0时，不等式化为$x≥\frac{5}{a}$，其定义域为：A=$[\frac{5}{a}，+∞）$，∵3∈A，∴$\frac{5}{a}≤3$，a＜0，解得a＜0．
命题q：10∈B，∴￢q：10∉B．对于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．∴a+2≥10，且a-2≤10，解得8≤a≤12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{8≤a≤12}\end{array}\right.$，解得a∈∅．
③当a＞0时，不等式化为$（x-\frac{5}{a}）$$（x+\sqrt{a}）$$（x-\sqrt{a}）$≤0．
当a≥$\root{3}{25}$时，由不等式解为$x≤-\sqrt{a}$或$\frac{5}{a}≤x≤\sqrt{a}$，∴A={x|$x≤-\sqrt{a}$或$\frac{5}{a}≤x≤\sqrt{a}$}．
∵3∈A，∴$\frac{5}{a}≤3≤\sqrt{a}$，解得a≥9．
∵命题q：10∈B，∴￢q：10∉B．对于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．
∴a+2≥10，且a-2≤10，解得8≤a≤12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥9}\\{8≤a≤12}\end{array}\right.$，解得9≤a≤12．
当$0＜a＜\root{3}{25}$时，由不等式解为$x≤-\sqrt{a}$或$\sqrt{a}≤x≤\frac{5}{a}$，∴A={x|$x≤-\sqrt{a}$或$\sqrt{a}≤x≤\frac{5}{a}$}，
∵3∈A，∴$\sqrt{a}≤3≤\frac{5}{a}$，解得$0＜a≤\frac{5}{3}$．
∵命题q：10∈B，∴￢q：10∉B．对于集合B：|x-a|＞2，解得x＞a+2或x＜a-2．
∴a+2≥10，且a-2≤10，解得8≤a≤12．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤\frac{5}{3}}\\{8≤a≤12}\end{array}\right.$，解得a∈∅．
综上可得：a∈[9，12]．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．