题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
⊥底面
,
,
,
,
,点
为棱
的中点.
(1)(理科生做)证明:;
(文科生做)证明:;
(2)(理科生做)若为棱
上一点,满足
,求二面角
的余弦值.
(文科生做)求点到平面
的距离.
【答案】(1)见解析(2)理,文
【解析】
(1理)可通过以点为原点建立空间直角坐标系,然后确定
四点的坐标,最后通过求
得出
;
(1文)首先可证明四边形是平行四边形,再通过
证明
平面
;
(2理)先求出向量,然后求出平面
和平面
的法向量,最后求出二面角
的余弦值;
(2文)可通过等面积法求出点到平面
的距离。
(1理)依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),
可得
,
,
由为棱
的中点,
得,
向量,
,故
,
所以.
(1文)取中点
,联接
因为是
中点,所以
且
所以且
,四边形
是平行四边形
平面
,
平面
,
所以平面
;
(2理)向量,
,
,
.
由点在棱
上,设
,
故
由,得
,因此
,解得
,
即,设
为平面
的法向量,
则,即
,
不妨令,可得
平面
的一个法向量.
取平面的法向量
,则
,
易知,二面角是锐角,所以其余弦值为
(2文)设到平面
距离为
,
在中,
因为
,
所以平面
,
所以,在
中,
将数据代入得。
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