题目内容
【题目】已知,
,点
满足
,记点
的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程;
(2)若直线过点
且与轨迹
交于
、
两点.
(i)无论直线绕点
怎样转动,在
轴上总存在定点
,使
恒成立,求实数
的值.
(ii)在(i)的条件下,求面积的最小值.
【答案】(1)(2)(i)
(ii)9
【解析】
(1)利用双曲线的定义及其标准方程即可得出;(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P,Q
,与双曲线方程联立消y得
,利用根与系数的关系、判别式解出即可得出.(i)利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出;(ii)利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出
(1)由知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由
,故轨迹E的方程为
(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为,与双曲线方程联立消y得
,
解得k2 >3
(i)
,
故得对任意的
恒成立,
∴当m =-1时,MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时,由知结论也成立,
综上,当m =-1时,MP⊥MQ.
(ii)由(i)知,,当直线l的斜率存在时,
, M点到直线PQ的距离为
,则
∴
令,则
,因为
所以
当直线l的斜率不存在时,
综上可知,故
的最小值为9.
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