Question

4．设△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若$2acosB=c，sinAsinB={\frac{1}{2}}$，则△ABC为（　　）

• A． 等边三角形
• B． 等腰直角三角形
• C． 锐角非等边三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 2acosB=c，利用余弦定理可得$2a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c，a=b．即A=B，再利用sinAsinB=$\frac{1}{2}$，即可得出．

解答 解：∵2acosB=c，∴$2a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c，化为a=b．
∴A=B，
∴A，B为锐角．
∵sinAsinB=$\frac{1}{2}$，∴sin²A=$\frac{1}{2}$，解得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A∈$（0，\frac{π}{2}）$，
∴$A=B=\frac{π}{4}$，
C=$\frac{π}{2}$．
∴△ABC为等腰直角三角形．
故选：B．

点评 本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．