题目内容

11.下列说法中
①若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$,则点O是△ABC的重心
②若点O满足:${|{\overrightarrow{OA}}|^2}+{|{\overrightarrow{BC}}|^2}={|{\overrightarrow{OB}}|^2}+{|{\overrightarrow{CA}}|^2}={|{\overrightarrow{OC}}|^2}+{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$,则点O是△ABC的垂心.
③若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}})(λ∈R)$,点P的轨迹一定过△ABC的内心.
④若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|sinB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|sinC}})(λ∈R)$,点P的轨迹一定过△ABC的重心.
⑤若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}})(λ∈R)$,点P的轨迹一定过△ABC的外心.
其中正确的是①②③④.

分析 ①若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$,取BC中点D,连接并延长OD至E,使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形,由于$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$=$-\overrightarrow{OA}$,即可判断出正误;
②设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$.由已知可得:${\overrightarrow{a}}^{2}$+$(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})^{2}$=${\overrightarrow{c}}^{2}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})^{2}$,化为$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$,利用向量垂直与数量积的关系即可判断出正误.
③由已知化为$\overrightarrow{AP}$=λ$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$,可知点P一定在∠BAC的平分线上,即可判断出正误.
④由已知可得:$\overrightarrow{AP}$=λ$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC})$,设D为边BC的中点,根据正弦定理:$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$,因此$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$共线,而$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AD}$共线,即可判断出正误.
⑤由已知可得:$\overrightarrow{AP}$=λ$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC})$,$\overrightarrow{BC}$•$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC})$=$-|\overrightarrow{BC}|$+$|\overrightarrow{BC}|$=0,可得$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$,即可判断出正误.

解答 解:①若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$,取BC中点D,连接并延长OD至E,使DE=OD 于是四边形BOCE是平行四边形,∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OD}$=$-\overrightarrow{OA}$,∴A,O,D三点共线,且||OA=2|OD|,∴点O是三角形ABC的重心,正确;
②设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,则$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$.∵点O满足:${|{\overrightarrow{OA}}|^2}+{|{\overrightarrow{BC}}|^2}={|{\overrightarrow{OB}}|^2}+{|{\overrightarrow{CA}}|^2}={|{\overrightarrow{OC}}|^2}+{|{\overrightarrow{AB}}|^2}$,∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+$(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$+$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})^{2}$=${\overrightarrow{c}}^{2}+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})^{2}$,化为$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$,∴$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{OB}⊥\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{BC}$,则点O是△ABC的垂心,正确.则点O是△ABC的垂心.
③若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}})(λ∈R)$,∴$\overrightarrow{AP}$=λ$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$,因此点P一定在∠BAC的平分线上,∴点P的轨迹一定过△ABC的内心,正确.
④若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|sinB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|sinC}})(λ∈R)$,∴$\overrightarrow{AP}$=λ$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC})$,设D为边BC的中点,根据正弦定理:$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$,即$|\overrightarrow{AB}|sinB$=$|\overrightarrow{AC}|sinC$,∴$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$共线,而$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AD}$共线,∴点P的轨迹一定过△ABC的重心.
⑤若动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ(\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|cosB}}+\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|cosC}})(λ∈R)$,∴$\overrightarrow{AP}$=λ$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC})$,∵$\overrightarrow{BC}$•$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC})$=$-|\overrightarrow{BC}|$+$|\overrightarrow{BC}|$=0,
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$,因此点P的轨迹一定过△ABC的垂心,故不正确.
故答案为:①②③④.

点评 本题综合考查了向量的运算性质、数量积运算性质、三角形的重心垂心内心外心等判定定理与性质定理、正弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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