Question

【题目】已知函数f（x）=x2+x﹣ln（x+a）+3b在x=0处取得极值0． （Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）= x+m在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题设可知 ， ∵当x=0时，f（x）取得极值0，
∴ 解得a=1，b=0；
经检验a=1，b=0符合题意；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），
则方程 即为 ，
令 ，
则方程φ（x）=0在区间[0，2]恰有两个不同实数根．
∵ ；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，2）时，φ′（x）＞0，于是φ（x）在（1，2）上单调递增；
依题意有 ，
∴﹣ ﹣ln2＜m≤1﹣ln3
【解析】（Ⅰ）求导 ，从而由题意得 ，从而解得；（Ⅱ）由（1）知f（x）=x2+x﹣ln（x+1），故方程 可化为 ，令 ，从而求导 ；从而根据单调性求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．