Question

10．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，则称函数y=f（x）在（a，b）上为“凹函数”，若函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-aex+2在R上是“凹函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用导数的运算法则可得f′（x），f″（x）．由于函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，可得：在区间（a，b）上f″（x）＞0恒成立，解得即可．

解答 解：f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-ae，f″（x）=-x+2，
∵函数f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-aex+2在R上是“凹函数”，
∴在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，
∴-x+2＞0，
即x＜2，
∴a≤2．

点评 本题考查了“凹函数”的定义及其性质、导数的运算法则、恒成立问题的等价转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．