Question

20．数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，a₇=$\frac{1}{2}$，则a₁=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由数列递推式结合a₇=$\frac{1}{2}$求得${a}_{4}=\frac{1}{2}$，可知数列{a_n}是以3为周期的周期数列，由此可得a₁=$\frac{1}{2}$．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，得$1-{a}_{n}=\frac{1}{{a}_{n+1}}$，${a}_{n}=1-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∵a₇=$\frac{1}{2}$，∴${a}_{6}=1-\frac{1}{{a}_{7}}=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{5}=1-\frac{1}{{a}_{6}}=1-\frac{1}{-1}=2$，${a}_{4}=1-\frac{1}{{a}_{5}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
由上可知数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
则${a}_{1}={a}_{7}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．