Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点，若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】分析：（Ⅰ）将直线的参数方程中的参数消掉，得到直线的普通方程，将曲线的极坐标方程等号两边同乘以，再根据平面直角坐标与极坐标之间的转换关系，求得结果；

（Ⅱ）根据题意，得到相应点的坐标，代入，求得对应直线的斜率，两个方程联立，求得弦的中点，之后应用两点间距离公式求得结果.

详解：（Ⅰ）消去直线的参数方程中的参数，得到直线的普通方程为：，把曲线的极坐标方程 左右两边同时乘以，得到：，

利用公式代入，化简出曲线的直角坐标方程：；

（Ⅱ）点的直角坐标为，将点的直角坐标为代入直线中，得，即，联立方程组：，得中点坐标为，

从而.