题目内容
【题目】
已知椭圆.过点(m,0)作圆
的切线l交椭圆G于A,B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将表示为m的函数,并求
的最大值.
【答案】(Ⅰ)焦点坐标为,离心率为
(Ⅱ). |AB|的最大值为2
【解析】
试题(1)先由椭圆的标准方程求出值,再利用
求出
值,进而写出焦点坐标和离心率;(2)先讨论两种特殊情况(点
在圆上,即斜率不存在的情况),再设出切线的点斜式方程,利用直线与圆相切得到
与
的关系,再联立直线与椭圆的方程,利用根与系数的关系和弦长公式得到关于
的关系式,再利用基本不等式进行求解.
试题解析:(1)由已知得:,所以
.
所以椭圆G的焦点坐标为,
.
离心率为.
(2)由题意知:.
当时,切线
的方程为
,点A,B的坐标分别为
,
,
此时.
当时,同理可得
.
当时,设切线
的方程为
.由
,得
.
设A,B两点的坐标分别为,
,则
,
.
又由与圆
相切,得
,即
.
所以,
由于当时,
,
所以,
.
因为,且当
时,
,
所以的最大值为2.
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