题目内容
已知函数f(x)=
(I)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求
+
的值;
(II)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
|
(I)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求
1 |
a |
1 |
b |
(II)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
(I)∵f(x)=
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数.
由0<a<b,且f(a)=f(b),可得0<a<1<b且
-1=1-
.所以
+
=2.
(II)不存在满足条件的实数a,b.
若存在满足条件的实数a,b,则0<a<b
当a,b∈(0,1)时,f(x)=
-1在(0,1)上为减函数.
故
即
解得a=b.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
当a,b∈[1,+∞)时,f(x)=1-
在(1,+∞)上是增函数.
故
即
此时a,b是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0∉[a,b],
故此时不存在适合条件的实数a,b.
综上可知,不存在适合条件的实数a,b.
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∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数.
由0<a<b,且f(a)=f(b),可得0<a<1<b且
1 |
a |
1 |
b |
1 |
a |
1 |
b |
(II)不存在满足条件的实数a,b.
若存在满足条件的实数a,b,则0<a<b
当a,b∈(0,1)时,f(x)=
1 |
x |
故
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故此时不存在适合条件的实数a,b.
当a,b∈[1,+∞)时,f(x)=1-
1 |
x |
故
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此时a,b是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0∉[a,b],
故此时不存在适合条件的实数a,b.
综上可知,不存在适合条件的实数a,b.
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