Question

对于函数，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝有且仅有两个不动点0和2．
(Ⅰ)试求b、c满足的关系式；
(Ⅱ)若c＝2时，各项不为零的数列{a_n}满足4S_n·f()＝1，
求证：＜＜；
(Ⅲ)设b_n＝－，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

同解析

(Ⅰ)设
∴ ………………………………2分
(Ⅱ)∵c＝2   ∴b＝2    ∴，
由已知可得2S_n＝a_n－a_n²且a_n≠1．……①，
当n≥2时，2 S_{n -1}＝a_n－1－a_n－1² ……②，
①－②得(a_n＋a_n－1)( a_n－a_n－1＋1)＝0，∴a_n＝－a_n－1  或 a_n＝－a_n－1 ＝－1，
当n＝1时，2a₁＝a₁－a₁²a₁＝－1，
若a_n＝－a_n－1，则a₂＝1与a_n≠1矛盾．∴a_n－a_n－1＝－1， ∴a_n＝－n．………………4分
∴要证待证不等式，只要证 ，
即证 ，
只要证 ，即证 ．
考虑证不等式(x＞0) **．……………………………………………6分
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－  (x＞0) ．
∴g '(x)＝， h '(x)＝，
∵x＞0，  ∴g '(x)＞0，  h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时，．
令则**式成立，∴＜＜，……………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知b_n＝，则T_n＝．
在中，令n＝1，2，3，……，2008，并将各式相加，
得，
即T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．…………………………………………………………………12分