Question

17．已知x²+y²=1，求证：|x²+2xy-y²|≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角代换化简不等式的左边为|$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+2θ）|，再根据正弦函数的值域，证得不等式成立．

解答 解：∵x²+y²=1，∴可令x=cosθ，y=sinθ，
∴|x²+2xy-y²|=|cos²θ-sin²θ+2sinθcosθ|=|cos2θ+sin2θ|=|$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$+2θ）|≤$\sqrt{2}$，
故：|x²+2xy-y²|≤$\sqrt{2}$成立．

点评 本题主要考查三角代换，两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．