题目内容
【题目】已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)讨论单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对
按
,
进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)问,若
,
至多有一个零点.若
,当
时,
取得最小值,求出最小值
,根据
,
,
进行讨论,可知当
时有2个零点.易知
在
有一个零点;设正整数
满足
,则
.由于
,因此
在
有一个零点.从而可得
的取值范围为
.
试题解析:(1)的定义域为
,
,
(ⅰ)若,则
,所以
在
单调递减.
(ⅱ)若,则由
得
.
当时,
;当
时,
,所以
在
单调递减,在
单调递增.
(2)(ⅰ)若,由(1)知,
至多有一个零点.
(ⅱ)若,由(1)知,当
时,
取得最小值,最小值为
.
①当时,由于
,故
只有一个零点;
②当时,由于
,即
,故
没有零点;
③当时,
,即
.
又,故
在
有一个零点.
设正整数满足
,则
.
由于,因此
在
有一个零点.
综上, 的取值范围为
.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断
与其交点的个数,从而求出a的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若
有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价
之间的关系,经统计得到如下数据:
等级代码数值 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
销售单价 | 16.8 | 18.8 | 20.8 | 22.8 | 24 | 25.8 |
(1)已知销售单价与等级代码数值
之间存在线性相关关系,求
关于
的线性回归方程(系数精确到0.1);
(2)若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销,记被选中的2种等级代码数值在60以下(不含60)的数量为,求
的分布列及数学期望.
参考公式:对一组数据,
,
,其回归直线
的斜率和截距最小二乘估计分别为:
,
.
参考数据:,
.