题目内容
【题目】已知圆心在直线上的圆C经过
点,且与直线
相切.
(1)求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程;
(2)过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A,B,若直线PA,PB的倾斜角互补,试判断直线AB与OP的位置关系(O为坐标原点),并证明.
【答案】(1)或
;(2)平行
【解析】
(1)设出圆的圆心为,半径为
,可得圆的标准方程
,根据题意可得
,解出
即可得出圆的方程,讨论过点P的直线斜率存在与否,再根据点到直线的距离公式即可求解.
(2)由题意知,直线PA,PB的倾斜角互补,分类讨论两直线的斜率存在与否,当斜率均存在时,则直线PA的方程为:,直线PB的方程为:
,分别与圆C联立可得
,利用斜率的计算公式
与
作比较即可.
(1)根据题意,不妨设圆C的圆心为,半径为
,
则圆C,
由圆C经过点,且与直线
相切,
则,解得
,
故圆C的方程为:,所以
点在圆上,
过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线,
当直线的斜率不存在时,直线为: ,满足题意;
当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,
直线方程为:,故
,
解得,故直线方程为:
.
综上所述:所求直线的方程:或
.
(2)由题意知,直线PA,PB的倾斜角互补,且直线PA,PB的斜率均存在,
设两直线的倾斜角为和
,
,
,因为
,
由正切的性质,则,
不妨设直线的斜率为
,则PB的斜率为
,
即:
,则
:
,
由,得
,
点
的横坐标为
一定是该方程的解,故可得
,
同理,,
,
,
直线AB与OP平行.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】BMI指数(身体质量指数,英文为Body Mass Index,简称BMI)是衡量人体胖瘦程度的一个标准,BMI=体重(kg)/身高(m)的平方. 根据中国肥胖问题工作组标准,当BMI时为肥胖. 某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况,其中有200名高血压患者,得到被调查者的频率分布直方图如图:
(1)求被调查者中肥胖人群的BMI 平均值;
(2)根据频率分布直方图,完成下面的列联表,并判断能有多大(百分数)的把握认为 35 岁以上成人高血压与肥胖有关?
肥胖 | 不肥胖 | 总计 | |
高血压 | |||
非高血压 | |||
总计 |
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.25 | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |