题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明;
(2)用定义证明函数在区间
上是单调递增函数:
(3)求函数在区间
上的值域.
【答案】(1) 奇函数 (2)证明见解析 (3)
【解析】
(1)直接由函数奇偶性的定义判断的关系,可得出答案.
(2)由定义证明函数单调性的方法任取,且
,作差
化简判断符合,得出单调性结论.
(3)根据(2)的解题过程判断出函数在
上的单调区间,从而根据单调性得出函数的值域.
(1)由
所以有
所以为奇函数.
(2) 任取,且
.
则
由,
则,所以
,
所以
即,所以
所以函数在区间
上是单调递增函数.
(3)由(2)有在
上是单调递增函数.
在(2)的证明过程中,若,则
则
所以,所以
所以函数在区间
上是单调递减函数.
所以函数在区间
上是单调递减函数,在
上是单调递增函数.
又.
所以函数在区间上的值域为
.
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