Question

9．设f（x）=4cos（ωx+$\frac{π}{6}$）sinωx-cos2ωx+1，其中0＜ω＜2．
（Ⅰ）若x=$\frac{π}{4}$是函数f（x）的一条对称轴，求函数f（x）的周期T；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得w的值，可得函数的周期．
（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得f（x）的增区间，再利用函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上为增函数，求得w的最大值．

解答 解：函数$f（x）=4cos（{ωx+\frac{π}{6}}）sinωx-cos2ωx+1$=4（cosωxcos$\frac{π}{6}$-sinωxsin$\frac{π}{6}$）sinωx-cos2ωx+1
=$\sqrt{3}$sin2ωx．
（Ⅰ） 由x=$\frac{π}{4}$是函数f（x）的一条对称轴，可得2ω•$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴ω=2k+1，
再结合0＜ω＜2，求得ω=1，f（x）=$\sqrt{3}$sin2x，故T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2ωx≤kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{π}{4ω}$≤x≤$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{4ω}$，k∈Z，
再根据函数f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上为增函数，可得-$\frac{π}{4ω}$≤$\frac{π}{6}$，且 $\frac{π}{4ω}$≥$\frac{π}{3}$，
求得0＜ω≤$\frac{3}{4}$，即ω得最大值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．