Question

2．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）对称，且f（x）=-$\frac{1}{{f（{x+\frac{3}{2}}）}}$，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）=2．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=-$\frac{1}{{f（{x+\frac{3}{2}}）}}$，可得函数f（x）是以3为周期的周期函数，再由函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）对称，f（-1）=1，f（0）=-2，可得f（-2）=1，进而可得一个周期内三个整数的函数值和为0，进而利用分组求和法得到答案．

解答 解：∵$f（x）=-\frac{1}{{f（{x+\frac{3}{2}}）}}$，则$f（{x+\frac{3}{2}}）=-\frac{1}{f（x+3）}$，
所以f（x）=f（x+3），
即函数f（x）是以3为周期的周期函数，
令x=-1，则$f（-1）=-\frac{1}{{f（{-1+\frac{3}{2}}）}}$，故而$f（{\frac{1}{2}}）=-1$，
由函数图象关于点$（{-\frac{3}{4}，\;\;0}）$对称，所以$f（x）+f（{-\frac{3}{2}-x}）=0$，
令$x=\frac{1}{2}$，则$f（{\frac{1}{2}}）+f（-2）=0$，则f（-2）=1，
所以f（-2）+f（-1）+f（0）=0，
故：f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）=f（-2）+f（-1）=2．
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是函数的值，函数的奇偶性与函数的周期性，分组求和法，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．