已知数列{an}的前n项和Sn=n-5an-85.(Ⅰ)求{an}的通项公式,(Ⅱ)令bn=log${\;} {\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a} {1}}{18}$+log${\;} {\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a} {2}}{18}$+-+log${\;} {\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a} {n}}{18}$.求数列{bn}的前n项� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n-5a_n-85，
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{1}}{18}$+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{2}}{18}$+…+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

分析（Ⅰ）涉及a_n与S_n的等式，都再往前或往后递推再得一等式，二者相减得递推公式，利用递推公式即可求出通项公式；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可得：${a_n}=1-15•{（\frac{5}{6}）^{n-1}}$，利用对数的性质可知log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$=n，进而${b_n}=\frac{n（n+1）}{2}，\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}$，这显然用裂项法求和．

解答解：（Ⅰ）∵S_n=n-5a_n-85，
∴S_n+1=n+1-5a_n+1-85，
两式相减得：a_n+1=1+5a_n-5a_n+1，
整理得：a_n+1=$\frac{1}{6}$+$\frac{5}{6}$•a_n，
∴-1+a_n+1=$\frac{5}{6}$•（-1+a_n），
又∵a₁=1-5a₁-85，即a₁=-14，
∴-1+a₁=-1-14=-15，
∴-1+a_n=-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}=1-15•{（\frac{5}{6}）^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（I）知，-1+a_n=-15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
∴1-a_n=15•$（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
∴log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$=$lo{g}_{\frac{5}{6}}\frac{15•（\frac{5}{6}）^{n-1}}{18}$=$lo{g}_{\frac{5}{6}}（\frac{5}{6}）^{n}$=n，
∴b_n=log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{1}}{18}$+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{2}}{18}$+…+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$
=1+2+3+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和${T_n}=\frac{2n}{n+1}$．