题目内容
【题目】设数列的前n项和为
,且
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为
,求
;
(3)判断数列中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论.
【答案】(1)(2)
(3)数列
中不存在三项成等差数列.见解析
【解析】
(1)利用及公式
,代入后可证明数列
为等比数列.结合求得
,即可得数列
的通项公式.
(2)先表示出数列的通项公式,再由等比数列的前n项和公式得
求得
后代入
.即可求得
的值.
(3)假设数列中是否存在三项成等差数列.设第m,n,k(
)项成等差数列,代入通项公式化简变形,构造函数
,证明
在
上的单调性,化简变形可得矛盾,从而证明数列
中不存在三项成等差数列.
(1)1°当时,
,解得
.
2°当时,
,即
.
因为,所以
,从而数列
是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以.
(2)因为,所以
,故数列
是以4为首项,4为公比的等比数列,
从而,
而,
所以.
(3)不存在.理由如下.
假设中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k(
)项成等差数列,
则,即
.
因为,且m,n,
,所以
.
令(
),则
,显然
在
上是增函数,
所以,即
,
所以,
所以,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,
所以数列中不存在三项成等差数列.
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