题目内容
已知函数的定义域为,且的图象连续不间断. 若函数满足:对于给定的(且),存在,使得,则称具有性质.
(1)已知函数,,判断是否具有性质,并说明理由;
(2)已知函数 若具有性质,求的最大值;
(3)若函数的定义域为,且的图象连续不间断,又满足,
求证:对任意且,函数具有性质.
(1)已知函数,,判断是否具有性质,并说明理由;
(2)已知函数 若具有性质,求的最大值;
(3)若函数的定义域为,且的图象连续不间断,又满足,
求证:对任意且,函数具有性质.
(1)具有该性质,证明见解析;(2);(3)证明见解析.
试题分析:(1)创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的(且),存在,使得,按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设,令,解得,满足定义,故具有性质P(3);(2)m在0到1之间,取一半,看是
具有性质P(),如果有,再判断是否有大于的m,没有的话,最大值就是;(3)构造函数,则,……=-,相加,有,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.
试题解析:(1)设,即
令, 则
解得,
所以函数具有性质
(2)m的最大值为.
首先当时,取,
则,,
所以函数具有性质,
假设存在,使得函数具有性质,
则,
当时,,,,
当时,,,,
所以不存在,使得,
故的最大值为.
(3)任取,
设,其中,
则有,
,
,
……
,
……
,
以上各式相加得:,
当中有一个为时,不妨设为,
即,
则函数具有性质,
当均不为时,由于其和为,则必然存在正数和负数,
不妨设其中,,
由于是连续的,所以当时,至少存在一个,
(当时,至少存在一个),
使得,
即,
故函数具有性质.
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