题目内容

【题目】已知,其中是自然对数的底数,.

(1)当时,证明:

(2)是否存在实数,使的最小值为3,如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)详见解析;(2)存在实数.

【解析】

1)有题意不等式转化为恒成立,先求出fx)的最小值,令hx)=x[e0),求导得出函数hx)的最大值,从而得出结论;

2)对求导,通过讨论a的范围,求出fx)的最小值,即可求出a的值.

(1)由题意可知,所证不等式为

因为

所以当时,,此时单调递减;

时,,此时单调递增.

所以上有唯一极小值,即上的最小值为1;

,则

时,,故上单调递减,

所以

所以当时,

(2)假设存在实数,使的最小值为3,

①若,由于,则

所以函数上是增函数,

所以,解得矛盾,舍去.

②若,则当时,,此时是减函数,

时,,此时是增函数,

所以,解得.

综上①②知,存在实数,使的最小值为3.

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