题目内容
【题目】已知,
,其中
是自然对数的底数,
.
(1)当时,证明:
;
(2)是否存在实数,使
的最小值为3,如果存在,求出
的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)存在实数.
【解析】
(1)有题意不等式转化为恒成立,先求出f(x)的最小值,令h(x)=
,x∈[﹣e,0),求导得出函数h(x)的最大值,从而得出结论;
(2)对求导,通过讨论a的范围,求出f(x)的最小值,即可求出a的值.
(1)由题意可知,所证不等式为,
,
因为,
所以当时,
,此时
单调递减;
当时,
,此时
单调递增.
所以在
上有唯一极小值
,即
在
上的最小值为1;
令,
,则
,
当时,
,故
在
上单调递减,
所以
所以当时,
(2)假设存在实数,使
的最小值为3,
①若,由于
,则
,
所以函数在
上是增函数,
所以,解得
与
矛盾,舍去.
②若,则当
时,
,此时
是减函数,
当时,
,此时
是增函数,
所以,解得
.
综上①②知,存在实数,使
的最小值为3.
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