题目内容

【题目】如图,边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直,MQ分别为PCAD的中点.

(1)求证:PA//平面MBD.

(2)试问:在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN⊥平面PQB?若存在,试指出点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)存在点N,当NAB中点时,平面PQB⊥平面PNC,证明见解析.

【解析】

(1) 连接ACBD于点O,证明MO//PA,可得PA//平面MBD

(2)先利用正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直可得PQ⊥平面ABCD,

结合PQNC,可得NC⊥平面PQB.

:(1)证明:连接ACBD于点O,连接MO.

由正方形ABCDOAC的中点,

MPC的中点,

MO//PA.

平面MBD平面MBD

PA//平面MBD.

(2)存在点N,当NAB中点时,平面PQB⊥平面PNC,证明如下:

∵四边形ABCD是正方形,QAD的中点,

BQNC.

QAD的中点,△PAD为正三角形,

PQAD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD,且面PADABCD=AD平面PAD

PQ⊥平面ABCD.

又∵平面ABCD

.PQNC.

NC⊥平面PQB.

平面PCN

∴平面PCN⊥平面PQB.

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