Question

【题目】凸四边形PABQ中，其中A，B为定点，AB= ，P，Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PAABcosA=1+3﹣2 cosA=4﹣2 cosA，

在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQQBcosQ=2﹣2cosQ，

∴4﹣2 cosA=2﹣2cosQ，即cosQ= cosA﹣1

（2）解：根据题意得：S= PAABsinA= sinA，T= PQQBsinQ= sinQ，

∴S2+T2= sin2A+ sin2Q= （1﹣cos2A）+ （1﹣cos2Q）=﹣ + cosA+ =﹣ （cosA﹣ ）2+ ，

当cosA= 时，S2+T2有最大值 ，此时S四边形PABQ=S+T=

【解析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2 ， 在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2 ， 两者相等变形即可得到结果；（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．
【考点精析】关于本题考查的余弦定理的定义，需要了解余弦定理:;;才能得出正确答案．