Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直线l的参数方程为 （t为参数），

∴消去参数t得直线l的普通方程为y=3x﹣6，

∵曲线C的极坐标方程为 ，

∴ρtanθsinθ=8，即ρsin2θ=8cosθ，

∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，

∴曲线C的直角坐标方程为y2=8x

（2）解：∵抛物线y2=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F，

设直线l与曲线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得9x2﹣44x+36=0，

∴ ，

∴|AB|= ，

∴直线l被曲线C截得的弦长为

【解析】（1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2θ=8ρcosθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）抛物线y2=8x的焦点是F（2，0），且直线l过抛物线的焦点F，由 ，得9x2﹣44x+36=0，利用韦达定理和焦点弦公式能求出直线l被曲线C截得的弦长．