题目内容
【题目】已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA,tanB是关于x的方程x2+(1+p)x+p+2=0的两个根,c=4.
(1)求角C的大小;
(2)求△ABC面积的取值范围.
【答案】
(1)解:∵tanA,tanB是关于x的方程x2+(1+p)x+p+2=0的两个根,
∴tanA+tanB=﹣1﹣p,tanAtanB=p+2,
∴tan(A+B)= = =1,
∴在△ABC中,A+B= ,
∴C=
(2)解:∵C= ,c=4,c2=a2+b2﹣2abcosC,
∴42=a2+b2﹣2ab×(﹣ ),整理可得:16﹣ =a2+b2,
又∵a>0,b>0,
∴16﹣ =a2+b2≥2ab,可得:ab≤ ,当且仅当a=b时取等号,
∴S△ABC= absinC= ab× ≤ × = =4 ﹣4,
∴△ABC的面积的取值范围为(0,4 ﹣4)
【解析】(1)由已知可得tanA+tanB=﹣1﹣p,tanAtanB=p+2,利用两角和的正切函数公式可求tan(A+B)=1,可求A+B= ,利用三角形内角和定理可求C的值.(2)由已知及余弦定理可求16﹣ =a2+b2,结合基本不等式可得ab≤ ,当且仅当a=b时取等号,利用三角形面积公式即可得解.
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正切公式和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握两角和与差的正切公式:;余弦定理:;;才能正确解答此题.
【题目】网购是当前民众购物的新方式,某公司为改进营销方式,随机调查了100名市民,统计其周平均网购的次数,并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中,年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷,且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关?
网购迷 | 非网购迷 | 合计 | |
年龄不超过40岁 | |||
年龄超过40岁 | |||
合计 |
(2)若从网购迷中任意选取2名,求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望. 附: ;
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【题目】某科技公司生产一种手机加密芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于70为合格品,小于70为次品.现随机抽取这种芯片共120件进行检测,检测结果统计如表:
测试指标 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
芯片数量(件) | 8 | 22 | 45 | 37 | 8 |
已知生产一件芯片,若是合格品可盈利400元,若是次品则亏损50元.
(Ⅰ)试估计生产一件芯片为合格品的概率;并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率.
(Ⅱ)记ξ为生产4件芯片所得的总利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望.