题目内容
【题目】已知数列的前
项和
,对任意正整数
,总存在正数
使得
,
恒成立:数列
的前
项和
,且对任意正整数
,
恒成立.
(1)求常数的值;
(2)证明数列为等差数列;
(3)若,记
,是否存在正整数
,使得对任意正整数
,
恒成立,若存在,求正整数
的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)见解析(3)正整数
的最小值为4
【解析】试题分析:(1)根据,
,可得
,根据题意令
和
,即可求出
,从而求出
;(2)由
,得
,两式做差得
,从而可证数列
为等差数列;(3)根据(2)可得
,结合(1),表示出
,作出
,然后令
,即可求出
的最大值,从而求出正整数
的最小值.
试题解析:(1)∵①
∴②,
,
①-②得: ,即
,
,
又
∴,
,
时,
;
时,
.
∵为正数
∴.
又∵,
,且
∴.
(2)∵③
∴当时,
④,
∴③-④得: ,即
⑤,
又∵⑥
∴⑤+⑥得: ,即
∴为等差数列.
(3)∵,
,由(2)知
为等差数列
∴.
又由(1)知,
∴
,
又∵
,
∴
,
令得
,
∴,解得
,
∴时,
,即
,
∵时,
,
∴,即
.
此时,即
,
∴的最大值为
若存在正整数,使得对任意正整数
,
恒成立,则
,
∴正整数的最小值为4.
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