Question

【题目】已知一圆的圆心在直线上，且该圆经过和两点.

（1）求圆的标准方程；

（2）若斜率为的直线与圆相交于，两点，试求面积的最大值和此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值2，或.

【解析】

（1）方法一、求得的垂直平分线方程与已知直线联立，求得圆心，可得半径，即可得到所求圆的方程；

方法二、设圆的方程为，将点代入可得，，的方程组，解方程可得圆的方程；

（2）直线与圆相交，设直线的方程为，求得圆心到直线的距离和弦长，由三角形的面积公式，化为关于的二次函数，求得最值，进而求得，可得所求直线方程；

（1）方法一：和两点的中垂线方程为：，

圆心必在弦的中垂线上，联立得，

半径，所以圆的标准方程为：.

方法二：设圆的标准方程为：，

由题得：，解得：

所以圆的标准方程为：.

（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离为，

∴，且，，

面积，

当，时，取得最大值2

此时，解得：或

所以，直线的方程为：或.