Question

【题目】已知数列中，，（且）．

（1）求的值；

（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）设数列的前n项和为，求．

Answer 1

【答案】（1），

（2）存在,

（3）

【解析】

(1)由 ，及递推公式,计算即可求得的值;

(2) 设,利用，求得,再证明即证得存在实数，使得数列为等差数列;

(3) 由(2)知,数列为首项是2,公差是1的等差数列,求得,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.

解：（1），，．

（2）方法一：假设存在实数，使得数列为等差数列，

设，由为等差数列，则有，

，，解得．

又．

，所以存在实数，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．

方法二：设，

，

∴当时，为常数，此时，

所以存在实数，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．

方法三：，，两边同除得，

即，又，

所以存在实数，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．

（3）由（2）知，数列为首项是2，公差是1的等差数列，

，，

记，则，令，则

，

①

②

①-②得

，．