Question

6．如图在△ABC中，∠C=90°，BE是∠CBD的平分线，DE⊥BE交AB于点D，圆O是△BDE外接圆．
（Ⅰ）求证：AC是圆O的切线；
（Ⅱ）如果AD=6，AE=6$\sqrt{2}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）先利用切割线定理可求出半径OD，容易证出△AED∽△ABE；设DE=$\sqrt{2}$x，BE=2x，利用相似比，结合勾股定理可求x，从而求出BC的长．

解答 （Ⅰ）证明：连接OE；
∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵AE是⊙O的切线，AD=6，AE=6$\sqrt{2}$，
∴AE²=AD•AB，
∴AB=$\frac{（6\sqrt{2}）^{2}}{6}$=12，
∴BD=AB-AD=12-6=6；
∵∠AED=∠ABE，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABE，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
设DE=$\sqrt{2}$x，BE=2x，
∵DE²+BE²=BD²，
∴2x²+4x²=36，
解得x=±$\sqrt{6}$（负的舍去），
∴BE=2$\sqrt{6}$，DE=2$\sqrt{3}$，BC=4．

点评 本题利用了平行线的性质、切线的判定、切割线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．