题目内容

【题目】已知函数

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)f(x)有两个零点,求a的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

1)先求导数,再讨论导函数零点,最后根据区间导函数符号确定单调性,

2)结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数,即得结果

解(1

(ⅰ)时,当时,;当时,

所以f(x)单调递减,在单调递增;

(ⅱ)

,则,所以f(x)单调递增;

,则,故当时, ;所以f(x)单调递增,在单调递减;

,则,故当 ;所以f(x)单调递增,在单调递减;

综上:时,f(x)单调递减,在单调递增;

时,f(x)单调递增;

时,f(x)单调递增,在单调递减;

时,f(x)单调递增,在单调递减;

2)(ⅰ)当a>0,则由(1)知f(x)单调递减,在单调递增,

,取b满足,且

,所以f(x)有两个零点

(ⅱ)当a=0,,所以f(x)只有一个零点

(ⅲ)当a<0,,则由(1)知,f(x)单调递增.又当时,,故f(x)不存在两个零点

,则由(1)知,f(x)单调递减,在单调递增,又当f(x)<0,f(x)不存在两个零点

综上,a的取值范围为.

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