题目内容
【题目】已知函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先求导数,再讨论导函数零点,最后根据区间导函数符号确定单调性,
(2)结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数,即得结果
解(1)
(ⅰ)时,当时,;当时,,
所以f(x)在单调递减,在单调递增;
(ⅱ)时
若,则,所以f(x)在单调递增;
若,则,故当时,, ,;所以f(x)在单调递增,在单调递减;
若,则,故当,, ,;所以f(x)在单调递增,在单调递减;
综上:时,f(x)在单调递减,在单调递增;
时,f(x)在单调递增;
时,f(x)在单调递增,在单调递减;
时,f(x)在单调递增,在单调递减;
(2)(ⅰ)当a>0,则由(1)知f(x)在单调递减,在单调递增,
又,,取b满足,且,
则,所以f(x)有两个零点
(ⅱ)当a=0,则,所以f(x)只有一个零点
(ⅲ)当a<0,若,则由(1)知,f(x)在单调递增.又当时,,故f(x)不存在两个零点
,则由(1)知,f(x)在单调递减,在单调递增,又当,f(x)<0,故f(x)不存在两个零点
综上,a的取值范围为.
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