题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
，
.
（1）证明：
平面
；
（2）若
是
的中点，
是棱
上一点，且
平面
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
（1）根据条件中的数据，可得
，
，从而得到
平面
，得到
，结合正方形中
，得到
平面
；（2）以
、
、
为
轴建立空间直角坐标系，得到平面
的法向量
，平面
的一个法向量为
，由向量的夹角公式，得到答案.
（1）证明：∵
，
.
∴
，
，
∴，，
，
平面
∴平面，
而
平面
∴．
又∵为正方形，
∴，
，
平面
∴平面．
（2）解：如图，连接
，取的中点
，
设
，连接
，则
，
从而
平面，平面与
的交点即为
．
以、、为轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
，
，
，
，
平面
即平面，设其法向量为
，
则
即
令
，得，
易知平面的一个法向量为，
∴
.
因为二面角
为锐二面角，
故所求余弦值为
．
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