题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)若是
的中点,
是棱
上一点,且
平面
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据条件中的数据,可得,
,从而得到
平面
,得到
,结合正方形中
,得到
平面
;(2)以
、
、
为
轴建立空间直角坐标系,得到平面
的法向量
,平面
的一个法向量为
,由向量的夹角公式,得到答案.
(1)证明:∵,
.
∴,
,
∴,
,
,
平面
∴平面
,
而平面
∴.
又∵为正方形,
∴,
,
平面
∴平面
.
(2)解:如图,连接,取
的中点
,
设,连接
,则
,
从而平面
,平面
与
的交点即为
.
以、
、
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
,
,
,
,
平面即平面
,设其法向量为
,
则即
令,得
,
易知平面的一个法向量为
,
∴.
因为二面角为锐二面角,
故所求余弦值为.

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