题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax2+(2a+1)x+b,其中a,b∈R. (Ⅰ)当a=1,b=﹣4时,求函数f(x)的零点;
(Ⅱ)如果函数f(x)的图象在直线y=x+2的上方,证明:b>2;
(Ⅲ)当b=2时,解关于x的不等式f(x)<0.
【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=x2+3x﹣4=0,解得x=﹣4,或x=1.
所以函数f(x)有零点﹣4和1.
(Ⅱ)证明:(方法1)因为f(x)的图象在直线y=x+2的上方,
所以ax2+(2a+1)x+b>x+2对x∈R恒成立.
即ax2+2ax+b﹣2>0对x∈R恒成立.
所以当x=0时上式也成立,代入得b>2.
(方法2)因为f(x)的图象在直线y=x+2的上方,
所以ax2+(2a+1)x+b>x+2对x∈R恒成立.
即ax2+2ax+b﹣2>0对x∈R恒成立.
当a=0时,显然b>2.
当a≠0时,
由题意,得a>0,且△=(2a)2﹣4a(b﹣2)<0,
则4a(b﹣2)>4a2>0,
所以4a(b﹣2)>0,即b>2.
综上,b>2.
(Ⅲ)由题意,得不等式ax2+(2a+1)x+2<0,即(ax+1)(x+2)<0.
当a=0时,不等式化简为x+2<0,解得x<﹣2;
当a≠0时,解方程(ax+1)(x+2)=0,得根x1=﹣2, .
所以,当a<0时,不等式的解为:x<﹣2,或 ;
当 时,不等式的解为:
;
当 时,不等式的解集为;
当 时,不等式的解为:
.
综上,当a<0时,不等式的解集为{x|x<﹣2,或 ;
当a=0时,不等式的解集为{x|x<﹣2};
当 时,不等式的解集为
;
当 时,不等式的解集为;
当 时,不等式的解集为
【解析】(Ⅰ)解方程x2+3x﹣4=0,即可得到所求零点;(Ⅱ)(方法1)由题意可得ax2+(2a+1)x+b>x+2对x∈R恒成立.考虑x=0,可得结论;
(方法2)由题意可得ax2+2ax+b﹣2>0对x∈R恒成立.讨论当a=0时,当a≠0时,得a>0,且△=(2a)2﹣4a(b﹣2)<0,即可得证;(Ⅲ)由题意可得(ax+1)(x+2)<0,对a讨论,当a<0,a=0,当 时,当
时,当
时,运用二次不等式的解法,即可得到所求解集.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质,需要了解增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能得出正确答案.
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