Question

【题目】在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．

（1）求证：OC1∥平面AB1D1
（2）求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1
（3）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1．

因为AA1∥CC1且AA1=CC1，

所以四边形AA1C1C是平行四边形．

所以A1C1∥AC且A1C1=AC．

因为底面ABCD是菱形，

所以O1C1∥AO且O1C1=AO．

所以四边形AOC1O1是平行四边形．

所以AO1∥OC1．

因为AO1平面AB1D1，OC1平面AB1D1

所以OC1∥平面AB1D1．

（2）证明：因为AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1平面A1B1C1D1，

所以B1D1⊥AA1．

因为底面ABCD是菱形，

所以B1D1⊥A1C1，又因为AA1∩A1C1=A1，

所以B1D1⊥平面ACC1A1．因为B1D1平面AB1D1，

所以平面AB1D1⊥平面ACC1A1．

（3）解：由题意可知，AA1⊥平面A1B1C1D1，

所以AA1为三棱锥A﹣A1B1D1的高．

因为 ．

所以三棱锥A1﹣AB1D1的体积为 ．

【解析】（1）由直平行六面体的结构特征可知AO1 OC1 ， 于是OC1∥平面AB1D1；（2）由线面垂直的性质得AA1⊥B1D1 ， 由菱形的性质得A1C1⊥B1D1 ， 故而B1D1⊥平面ACC1A1 ， 于是平面AB1D1⊥平面ACC1A1；
（III）以△A1B1D1为棱锥的底面，AA1为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．