题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(Ⅰ)证明:BE⊥DC;
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
【答案】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)
∴ =(0,1,1),
=(2,0,0)
∵ =0,
∴BE⊥DC;
(Ⅱ)∵ =(﹣1,2,0),
=(1,0,﹣2),
设平面PBD的法向量 =(x,y,z),
由 ,得
,
令y=1,则 =(2,1,1),
则直线BE与平面PBD所成角θ满足:
sinθ= =
=
,
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)∵ =(1,2,0),
=(﹣2,﹣2,2),
=(2,2,0),
由F点在棱PC上,设 =λ
=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),
故 =
+
=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),
由BF⊥AC,得
=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,
解得λ= ,
即 =(﹣
,
,
),
设平面FBA的法向量为 =(a,b,c),
由 ,得
令c=1,则 =(0,﹣3,1),
取平面ABP的法向量 =(0,1,0),
则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:
cosα= =
=
,
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:
【解析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据 =0,可得BE⊥DC;(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量
的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识,掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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