题目内容
【题目】已知函数f(x)=cos2(x+ ),g(x)=1+
sin2x.
(1)设x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴,求g(x0)的值.
(2)设函数h(x)=f(x)+g(x),若不等式|h(x)﹣m|≤1在[﹣ ,
]上恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=cos2(x+ )=
,
由 得所以函数的对称轴为
.
因为x=x0是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以 .
所以 ,
若k是偶数,则 ,
若k是奇数,则
(2)解:h(x)=f(x)+g(x)=
cos(2x+
)+1+
sin2x=
+
(
cos2x﹣
sin2x)+1+
sin2x
= +
(
cos2x+
sin2x)+1=
.
因为x∈[﹣ ,
],所以
,
所以 ,所以要使|h(x)﹣m|≤1恒成立,
即﹣1≤m﹣h(x)≤1,
所以h(x)﹣1≤m≤1+h(x).
所以1
【解析】(1)利用三角函数对称轴的性质确定x0的值,然后代入求值即可.(2)求出函数h(x)=f(x)+g(x)的最值即可.
【考点精析】本题主要考查了二倍角的余弦公式和三角函数的最值的相关知识点,需要掌握二倍角的余弦公式:;函数
,当
时,取得最小值为
;当
时,取得最大值为
,则
,
,
才能正确解答此题.
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