Question

15．已知两个非零向量a，b不共线，$\overrightarrow{OA}$=a+b，$\overrightarrow{OB}$=a+2b，$\overrightarrow{OC}$=a+3b．
（1）证明A，B，C三点共线；
（2）试确定实数k，使ka+b与a+kb共线．

Answer 1

分析 （1）利用向量的运算和共线定理即可得出；
（2）利用向量共线定理和向量基本定理即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）-（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，C三点共线，
（2）∵k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$共线，
∴存在实数λ，使得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=λ}\\{1=λk}\end{array}\right.$，
解得k=±1．

点评 本题考查了向量的运算和共线定理、向量基本定理，属于中档题．