Question

4．已知数列{a_n}是首项a₁=1，公差为2的等差数列，数列{b_n}是首项b₁=1，公比为3的等比数列．数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式进行求解即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项a₁=1，公差为2的等差数列，数列{b_n}是首项b₁=1，公比为3的等比数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1．
（2）∵a_n=2n-1，b_n=3^n-1．
∴c_n=a_n•b_n=（2n-1）3^n-1．
则S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
即S_n=1•3⁰+3•3¹+…+（2n-1）•3^n-1，
3S_n=3+3•3²+5•3³+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ，
两式相减得-2S_n=1+2•3+2•3²+2•3³+…+2•3^n-1-（2n-1）•3ⁿ
=1+$\frac{6（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ
=-2+3ⁿ-（2n-1）•3ⁿ
=-2+（2-2n）•3ⁿ
则S_n=1+（n-1）•3ⁿ．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法进行求和，考查学生的运算能力．