题目内容

14.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-n+2,n∈N*
(Ⅰ)证明数列{an-(n-1)}是等比数列并求数列{an}的通项an
(Ⅱ)求数列{an}的前n项的和Sn

分析 (Ⅰ)an+1=2an-n+2,变形为an+1-n=2[an-(n-1)],利用等比数列的通项公式即可得出;
(II)分组利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出.

解答 (Ⅰ)证明:∵an+1=2an-n+2,
∴an+1-n=2[an-(n-1)],
∴数列{an-(n-1)}是以a1-1+1=1为首项,以2为公比的等比数列.
∴an-(n-1)=1×2n-1
∴an=2n-1+(n-1).
(Ⅱ)解:∵Sn=20+(21+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n-1+n-1)
=(20+21+22+…+2n-1)+(1+2+3+…+n-1)
=$\frac{1×(1-2n)}{1-2}+\frac{n(n-1)}{2}$
=2n-1+$\frac{n(n-1)}{2}$.

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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